ギフトラッピング ファイブオレンジは何世代にもわたって数学の最高の頭脳を出し抜いてきた

球状の物体を完璧に包み込むのは簡単なことのように思えますが、これは何世紀にもわたって数学者を悩ませてきた課題です

「昔はオレンジしかプレゼントされなかったので、とても嬉しかったです！」 これは、年配の人が今日の子供たちが受け取る大量の豪華な贈り物を批判するときに時々聞くフレーズです。 めったに言及されないのは、ギフト包装です。 オレンジ 5 個をギフトとして贈りたいとします。スペースと包装紙をできるだけ少なくするために、果物をどのように配置しますか?

結局のところ、この一見無害な質問の背後には多くの数学が存在します。 結局のところ、果物商人が太古の昔から知っていたこと、つまり、無限のボールを 3 次元空間に最適に積み重ねるには、ボールをピラミッド型に配置することで実現できるということを証明するまでに 400 年以上かかりました。 ケプラー予想として知られるそのパズルに対する検証済みの解決策は、2017 年まで発表されませんでした。ただし、有限数の天体のみを考慮すると、状況はまったく異なります。

驚くべきことに、数学者は 19 世紀後半まで後者の種類の問題を取り上げませんでした。 ノルウェーの幾何学者アクセル トゥーは、1892 年に有限個の二次元円の最適配置を初めて研究しました。この分野で重要な進歩があったのは、ハンガリーの数学者ラースロー フェヘス トートがこのテーマに取り組んだ次の数十年後です。

問題をよりよく理解するには、まず単純化された 2 次元のケースを検討すると役立ちます。 たとえば、同じサイズの複数のコインを可能な限りスペースを節約できる方法で配置してみることができます。 これを行うには、紐で輪郭を描き、紐をしっかりと引っ張り、紐が囲む面積を計算します。 n = 2 コインの場合、最適な配置がすぐに見つかります。コインが互いに接触するように置きます。 半径 r の両方のコインを囲む最も短い文字列の長さは (4 + 2π)r になります。

この長さはセクションごとに最適に計算されます。文字列の直線部分 (4 xr) と円を囲む丸い領域を合計 (2πr) 加えます。 文字列は (4 + π)r2 の総面積を囲みます。 この場合、明らかにこれ以上スペースを節約してコインを配置する方法はありません。

一方、コインが 3 枚ある場合、スペースを節約できるように見える 2 つの異なる配置が突然現れます。1 つはコインを横に並べるか、正三角形の角に沿って配置するかのいずれかです。 最初のケースでは、文字列はソーセージの形をしているため、数学では「ソーセージ」パックと呼ばれます。 2 番目のケースは専門家によって「ピザ」パックと呼ばれています。 しかし、ソーセージの梱包とピザの梱包では、どちらの方がスペースを節約できるでしょうか?

結局のところ、ピザパックの方が優れています。 この紐の長さは (6 + 2π)r で、覆われた領域は対応して (6 + √ 3 + π)r2 になります。一方、ソーセージ パックの紐の長さは (8 + 2π)r で、( の領域を囲みます) 8 + π)r2。 よく見ると、この違いは写真からも直接わかります。 ソーセージの配置のコイン間のスペースは、ピザのパックよりも大きくなっています。

実際、必要な文字列の長さと限られた領域については、一般的な公式を与えることができます。 n 枚のコインをソーセージの形に配置する場合、4(n – 1)r2 + πr2 の面積を囲む長さ 4(n – 1 + 2π)r の紐が必要になります。 一方、できるだけ正六角形に近い三角形の格子にコインを並べると、(2n + √)の面積を囲む長さ2(n + π)rの文字列だけで済みます。 3(n – 2) + π)r2。

したがって、n 個の円の数に関係なく、ピザのパックの方がソーセージの形状よりもスペース効率が良いことがわかりました。 しかし、それは本当に常に最適なのでしょうか? それを判断するのははるかに難しい作業です。 結局のところ、さらに小さな面積を占める円の完全に無秩序な配置が存在する可能性があります。 このようなケースを排除することは非常に困難であることがわかります。 ここで、ハンガリーの数学者ラースロー・フェヘス・トートの出番です。1975 年、彼は、n 個の円の最適なパッキングは、可能な限り規則的な六角形を形成する三角格子内の配置であると推測しました。

2011 年、数学者のドミニク ケンは、この考えが n のほぼすべての値に当てはまることを示すことができました。 そして実際、無限の平面を無限の数のコインで覆うという限定的なケースも証明される可能性があります。 1773 年、物理学者で数学者のジョゼフ・ルイ・ラグランジュは、規則正しい充填のみを考慮する限り、三角格子に沿った配置が最適であることを発見しました。 1940 年になるまで、フェヘス トートは、この解決策が混沌とした円の配置よりもスペース効率が高いことを最終的に示しました。

しかし、球体についてはどうでしょうか？ 3 次元の場合、2 次元の世界での最適な円形パッキングよりもさらに多くの疑問が生じることは、おそらく驚くべきことではないでしょう。 始めるための手がかりが少なくとも 1 つあります。ケプラーの予想では、無限に多くの同一の球を砲弾のように積み重ねると、三次元空間を最もよく埋めることができると述べています。 第 1 レベルでは、2 次元の場合のコインのように三角形のグリッドに沿って配置し、第 2 レベルでは各隙間に球を配置します。 3 番目のレベルは再び 1 番目のレベルと同一になり、以下同様になります。 (言い換えれば、これらの球体は、食料品店に並ぶピラミッド型のオレンジの山のように見えます。)

しかし、有限個の球だけを考慮すると、状況はまったく異なります。 さて、包装紙に包まれたオレンジの例に戻ります。 オレンジが 1 つまたは 2 つしかない場合は、それらを最適に配置する方法がすぐにわかります。 3 つある場合、タスクはより複雑になります。 それらを一列に並べたり (ソーセージ パック)、以前と同じように三角形を形成したり (ピザ パック) することもできます。 状況は 3 つのコインと似ていますが、球体だけを扱っています。 この場合、どのパックが最もスペースを節約できるかを調べるには、アレンジメントのボリュームを比較します。

まず、球のシェルを個々の幾何学的形状に再度分解し、それらの体積を合計することが役立ちます。 ソーセージパックの場合、これは非常に単純です。形状は円柱と球に分割でき、その総体積は 16⁄3π r3 ≈ 16.76r3 です。 ピザパックはもう少し複雑です。 3 つの半円柱、三角柱、球が得られ、その合計体積は 13⁄3πr3 + 2√ 3r3 ≈ 17.08r3 になります。 したがって、この場合、ソーセージパックのほうがスペース効率がはるかに優れています。 そして、結局のところ、ソーセージの配置は実際に最適に詰めることができることがわかりました。

n = 4 になるように球をもう 1 つ追加すると、3 つの異なる配置を区別できます。 ここでも、ボールやオレンジを次々に並べたり (ソーセージ)、平面に分配したり (ピザ) することができます。 ただし、3 つの空間次元をすべて使用してそれらをスタックすることもできます。この配置は「クラスター」パックと呼ばれます。 ボールが 4 個の場合でも、必要な体積が最も少ないソーセージ パックが最適であることがわかります。

ただし、球の数が増えると、状況はさらに複雑になります。 数学者は、ソーセージパックは最大 n = 55 個のボールに最適であると推測しています。 しかし、1992 年に数学者のヨルグ ウィルズとピエール マリオ ガンディーニは、クラスター パックの方が 56 個の球体を収容できるスペースを節約できると判断しました。 しかし、このクラスターが正確にどのようなものであるかは不明です。 数学者たちは、ボールのソーセージパックよりも良い配置を見つけることができましたが、それが最適であることを示すことはできませんでした。 さらに少ない容積を占める別の配置があるかもしれない。

秩序だった一次元の連鎖から三次元のクラスターへの突然の移行は、専門家の間では「ソーセージの大惨事」として知られています。 ウィルズとガンディーニは、59、60、61、または 62 個の球を含む配置、および少なくとも 65 個の球を含むすべてのコレクションも最適にクラスターを形成することを証明しました。 他のすべての量、つまり n が 56 未満であるか、57、58、63、または 64 の場合、ソーセージ パックが最適であると思われます。 つまり、ボール数が 55 個までの場合はソーセージ パックが最適で、ボール数が 56 個の場合はクラスター パックが最適で、ボール数が 57 または 58 個の場合は、やはりソーセージが最も省スペースな配置となるでしょう。 球体が 59、60、または 61 個になると、再びクラスターに戻ります。

その答えは特に直感的とは思えません。 そして誰もそれを疑いの余地なく証明できませんでした。

数学者は三次元で止まっていたら数学者ではないでしょう。 では、4 次元空間における n 個の 4 次元ボールの最適なパッキングはどのようなものでしょうか? d で表される高次元では、ソーセージ (1 次元の鎖)、クラスター (d 次元空間全体のボールの蓄積)、およびピザの包装が区別されます。 後者は、他の 2 つのケースからの一種の移行を表します。これには、球が 1 次元以上、d 次元未満に分布するすべての状況が含まれます。

結局のところ、ソーセージの大惨事は 4 次元にも存在するようですが、それは 3 次元の場合よりもはるかに遅く発生します。 ガンディーニと同僚のアンドレアナ ズッコは 1992 年に、d = 4 の場合、少なくとも n = 375,769 個のボールがあれば、クラスター パックの方がソーセージ パックよりも省スペースであることを証明しました。

ピザはどうですか？ ウィルズと数学者のウルリッヒ・ベトケとピーター・グリッツマンは、1982 年に、ピザは 3 次元および 4 次元で最適なパッケージではないことを示しました。 ボールは空間全体を埋めるか (クラスター)、列を形成します (ソーセージ)。 最適な梱包配置を実現できるのは、これら 2 つの極端なケースのみです。

1975 年、フェヘス トートは、高次元についての今では有名な「ソーセージ予想」を表現しました。 彼によると、ソーセージ パックは 5 次元以上の任意の有限数の球に対して最適です。 この予想はまだ決定的に証明されていませんが、ベトケとその同僚マーティン・ヘンクは 1998 年にソーセージ予想が 42 以上の空間次元に当てはまることを示すことができました。

つまり、クリスマスに 42 次元のオレンジを配るなら、一列に並べるのが最適です。 元の質問のように、これらの立体的なフルーツを 5 つだけプレゼントする場合は、ソーセージ風のラップが最適です。

オレンジではなく恐竜のフィギュアや人形を梱包したい場合、その作業がどれほど複雑になるかを想像してみてください。 ギフト包装は明らかに数学的な謎に満ちた領域です。

この記事は元々 Spektrum der Wissenschaft に掲載され、許可を得て転載したものです。

マノン・ビショフ理論物理学者であり、Scientific American の提携出版物である Spektrum の編集者です。 クレジット: ニック・ヒギンズ

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