クアンタマガジン

2023 年 6 月 5 日

マギー・チャンがクアンタ・マガジンに登場

寄稿者

2023 年 6 月 5 日

数学者は、一見不可能に見えることが存在することを証明すると喜びます。 オックスフォード大学大学院1年生のセドリック・ピラット氏が3月にオンラインに投稿した新たな証拠も同様だ。

ピラットは、一見矛盾する 2 つの特性を満たすセット (数値のコレクション) を作成できることを証明しました。 1 つ目は、セット内の 2 組の数値を合計しても同じ合計にならないということです。 たとえば、{1、3、5、11} の任意の 2 つの数値を加算すると、常に一意の数値が得られます。 このような小さな「シドン」集合を構築するのは簡単ですが、要素の数が増えると、合計が一致する可能性も高くなり、集合のシドンらしさが失われます。

2 番目の要件は、セットが非常に大きくなければならないということです。 これは無限である必要があり、セット内の最大 3 つの数値を加算することで十分に大きな数値を生成できる必要があります。 セットを「次数 3 の漸近基底」にするこの特性には、大きくて密度の高い数値セットが必要です。 「彼らは反対方向に引っ張っている」とピラット氏は語った。 「シドン集合は小さくなるように制約され、漸近基底は大きくなるように制約されます。それが機能するかどうかは明らかではありませんでした。」

このような集合が存在するかどうかという問題は、1993 年にハンガリーの多才な数学者パウル・エルデシュと 2 人の共同研究者によって提起されて以来、数十年にわたって残り続けています。エルデシュがシドン集合に魅了されたのは、1932 年に彼がその発明者と交わした会話に遡ることができます。 Simon Sidon は当時、これらのセットの成長率を理解することに興味を持っていました。 （エルデシュは後にシドンを「平均的な数学者よりも狂っている」と評したが、それはほぼ間違いなく褒め言葉だった。）

シドン集合は、数論、組み合わせ論、調和解析、暗号学などのさまざまな数学的文脈で発生しますが、シドン集合がどれだけ大きくなることができるかという単純な問題は、エルデシュが彼のキャリアのほとんどにわたって考え続けてきた永遠の謎でした。 Erdős は、Sidon セットの拡張が非常に難しいことを早い段階で認識していました。 1941 年、彼と別の数学者は、メンバーがすべて整数 N 未満である可能な限り最大のシドン集合は、N の平方根に N の 4 乗根に比例して増大する項を加えたものより小さくなければならないことを証明しました (1969 年までに、ベルント・リンドストロームは、$latex \sqrt{N}+\sqrt[4]{N}+1$ よりも小さいことを示し、2021 年に別の数学者のグループがその限界を $latex \sqrt{N}+0.998 \ に厳しくしました。 \sqrt[4]{N}$ 倍。) サイドン集合は、言い換えれば、スパースである必要があります。

シドン集合は、任意の整数が最大 2 つの数値の合計として表現できる次数 2 の漸近基底になり得ないことは長い間知られていました。 (たとえば、奇数は次数 2 の基礎を形成します。) ピラットが説明したように、これは数学者がそれをわざわざ書き留めることをしなかったことを示すために次のように説明しています。文献にはっきりと書かれていました。」 同氏は、これは「シドン配列は一定の密度を超えることができないが、次数 2 の漸近塩基は常にそのしきい値よりも密度が高いため、2 つの特性を同時に保持することができない」ためであると説明しました。

一般に、次数 3 の漸近基底はシドン集合から構築できると考えられていましたが、これを証明することは別の問題でした。 「人々はこれが真実であるべきだと信じていた」とピラットの顧問ジェームズ・メイナード氏は語った。 「しかし、私たちが使用していた技術には問題がありました。」

ピラットが挑戦する前に、ある程度の進歩は見られました。 2010 年、ハンガリーの数学者サンダー キッスは、シドン集合が次数 5 の漸近基底になり得ることを示しました。つまり、十分に大きな整数は、集合の最大 5 つの要素の和として記述できることを意味します。そして 2013 年には、キッスと彼の同僚は、次数 4 の漸近基底の予想を証明しました。 2 年後、スペインの数学者ハビエル シレルエロは、次数 3 + e の漸近基底であるシドン集合を構築できることを証明することで、これらの結果をさらに一歩進めました。つまり、十分に大きな整数 N は、任意の小さな正の e に対して、そのうちの 1 つが Ne より小さい、シドン集合の 4 つの要素の合計として記述できます。

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「私たちが持っているものを超えた素数の理解が必要になるでしょう」とエルデシュ氏の長年の予想を証明した大学院1年生のセドリック・ピラットは語った。 「それで、それは良くなかったのです。」

エヴァン・ネディヤルコフ

これらの発見は、ランダムな整数セットを生成し、それをわずかに調整して両方の特性を満たすセットを作成するという、エルデシュによって開拓された確率的手法のバリエーションを使用して得られました。

ピラッテは、確率的手法が可能な限り推し進められてきたことに気づきました。 「確率的手法を使用すると次数 4 の基底を取得できますが、次数 3 の基底を取得することはできません」と彼は言いました。 「それは失敗するだけです。」

そこでピラットは別の方針をとり、代わりに素数の対数をシドン集合の構成要素として使用する手順に切り替えました。 ハンガリーの数論者イムレ・ルザとシレルエロによって開発されたこのアプローチは、確率的手法よりも大きく密度の高いシドン集合を生成します。ピラットは、これもシドンの性質に従う低次の基底を作成するために必要でした。 しかし、この方法には素数を扱う機能が必要でしたが、世界の一流の専門家でさえそれを備えていませんでした。 「私たちが持っているものを超えた素数の理解が必要になるでしょう」とピラット氏は言う。 「それで、それは良くなかったのです。」

解決策の探求により、ピラットは加法整数論から離れ、曲線や曲面などの幾何学的形状とそれらを定義する方程式の間の関係を研究する数学の分野である代数幾何学の世界へと予期せぬ方向に導かれました。 シレルエロのアイデアを採用して、ピラッテは数値を多項式に置き換えることから始めました。これにより、問題はすぐに扱いやすくなりました。

多項式は項の合計で構成される代数式であり、各項は定数係数と非負の整数乗した 1 つ以上の変数の積です。 これらの用語は、加算、減算、乗算を使用して組み合わせることができます。 たとえば、3x2 + 22x + 35 は 3 つの項を含む多項式です。 多項式を因数分解することは、多項式を他のより単純な多項式の積に分割することを意味します。 この例では、3x2 + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7) となります。 既約多項式、つまり因数分解できない多項式は、素数に相当します。

変数と係数の整数を交換するのは奇妙に聞こえるかもしれませんが、これらには思っているよりも多くの共通点があります。 「多項式は整数と非常によく似た動作をすることが判明した」とピラットのオックスフォード大学の同僚トーマス・ブルームは語った。 「足したり、引いたり、掛けたり、割ったりできます。」 そして、ある面では、数学者は数値よりも多項式をはるかに理解しています。 「素数というとSFのように聞こえるこれらすべてのことは、多項式の世界では知られている」とメイナード氏は語った。

コロンビア大学の数学者ウィル・ソーウィンによる等差数列における既約多項式の分布に関する最近の結果を利用して、ピラッテはエルデシュの制約を満たすのに適切な量のランダム性と適切な数値密度を備えた集合を構築することができました。

「とてもうれしかったです」とピラットさんは語った。 「私はここでエルデシュの問題を解決した人々のグループに加わっていますが、とても楽しいです。」

しかし、彼が最も喜んでいるのは、解決策に到達した驚くべき方法です。 「代数幾何学の非常に奥深いテクニックが、数値の集合に関するこの単純かつ具体的な質問にも使用できるのは素晴らしいことです。」と彼は言いました。

エルデシュの問題には、無関係であると思われる数学分野間のつながりを明らかにする不思議な才能があり、数学者が問題に答えようとするときに発見することは、答えそのものよりも意味のあることがよくあります。 「その深さは欺瞞的であり、セドリックの解決策はその好例だ」とブルーム氏は語った。 「エルデシュもきっと興奮したでしょうね。」

訂正: 2023 年 6 月 5 日この記事は当初、実際にはシドン セットではないシドン セットの例を示しました。 その例は削除されました。

寄稿者

2023 年 6 月 5 日

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