タイル状に並べても繰り返されない幾何学的形状

2023年3月23日レポート

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ボブ・イルカ著、Phys.org

ヨークシャー大学、ケンブリッジ大学、ウォータールー大学、アーカンソー大学の数学者四人組が、タイル状に並べても繰り返されない 2D 幾何学的形状を発見しました。 David Smith、Joseph Samuel Myers、Craig Kaplan、Chaim Goodman-Strauss は、どのようにしてそのユニークな形状とその可能な用途を発見したかを説明する論文を書きました。 彼らの論文全文は、arXiv プレプリント サーバーで入手できます。

床にタイルを敷くとき、正方形や三角形などの繰り返しパターンに適した単純な幾何学的形状を使用する傾向があります。 ただし、場合によっては、同じ種類の形状を使用する場合に困難を意味する、繰り返しではないパターンを求める人もいます。 この新たな取り組みで、研究チームは、タイリングに使用しても繰り返しパターンが生成されない単一の幾何学的形状を発見しました。

研究者らは、そのシナリオの下で、タイリングとは、重なりや隙間がないように形状を合わせることを指すと指摘しました。 繰り返しパターンを持たないタイリングは非周期的タイリングとして知られており、通常は複数のタイル形状を使用して実現されます。 数学者は長年にわたり、タイル状に並べたときに無限の種類のパターンを作成できる形状を作成するというアイデアを研究してきました。

最初の試行の 1 つでは、20,426 個のタイルのセットが生成されました。 その後、1974 年に、2 つの異なる形状のひし形がセットになったペンローズ タイルが開発されました。 それ以来、数学者たちは、「アインシュタイン」形状として知られるようになった形状、つまり単独で非周期タイリングに使用できる単一の形状の探索を続けてきました。

注目すべきことに、名前は有名な物理学者の名前ではなく、ドイツ語の「one stone」というフレーズに由来しています。 この新たな取り組みで、研究グループはとらえどころのないアインシュタインの形状を発見し、それを数学的に証明したと主張している。

この形には 13 の側面があり、チームはそれを単に「帽子」と呼んでいます。 彼らは、最初にコンピュータを使用して可能性を絞り込み、次に結果として得られた小さなセットを手作業で研究することによってそれを発見しました。 十分な可能性があると思われる結果が得られると、組み合わせソフトウェア プログラムを使用してそれをテストし、幾何学的非通約可能性の議論を使用してその形状が非周期であることを証明しました。 研究者らは最後に、この帽子が最も応用される可能性が高いのは芸術分野であると示唆している。

詳しくは： David Smith 他、非周期モノタイル、arXiv (2023)。 DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798

雑誌情報:arXiv

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